Разбор 23 задания ЕГЭ 2017 по информатике из демоверсии

Разбор 23 задания ЕГЭ 2017 года по информатике из демоверсии. Это задание высокого уровня сложности. Примерное время выполнения задания 10 минут.

Проверяемые элементы содержания:
— умение строить и преобразовывать логические выражения.

Элементы содержания, проверяемые на ЕГЭ:
— высказывания,
— логические операции,
— кванторы,
— истинность высказывания.

Задание 23

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, x₂, … x₆, y₁, y₂, … y₆, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x₁ → (x₂/\ y₁)) /\ (y₁ → y₂) = 1
(x₂ → (x₃/\ y₂)) /\ (y₂ → y₃) = 1
…
(x₅ → (x₆/\ y₅)) /\ (y₅ → y₆) = 1
x₆ → y₆ = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x₁, x₂, … x₆, y₁, y₂, … y₆,, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Ответ: ________

Разбор 23 задания ЕГЭ 2017

В данной системе уравнений первые 5 уравнений однотипны и будут принимать значение 1 только в том случае, если каждый из множителей равен 1.

Например:

x₁ → (x₂/\ y₁) = 1 и y₁ → y₂ = 1

Следовательно, для того чтобы все система уравнений была истинна необходимо, чтобы:

(y₁ → y₂) = 1
(y₂ → y₃) = 1
…
(y₅ → y₆) = 1

или

(y₁ → y₂) ∧ (y₂ → y₃) ∧ (y₃ → y₄) ∧ (y₄ → y₅) ∧ (y₅ → y₆) = 1

Чтобы данное уравнение было равно 1, необходимо и достаточно, чтобы y_i ≤ y_i+1.

Все наборы переменных y, которые удовлетворяют данному условию представим в виде таблицы:

Чтобы вся система оставалась истинной необходимо, чтобы:

x₁ → (x₂/\ y₁) = 1
x₂ → (x₃/\ y₂) = 1
…
x₅ → (x₆/\ y₅) = 1

Проанализируем правую часть этих уравнений:

Как только переменная x_i примет значение 1, все последующие x должны быть равны 1, а также все y, начиная с y_i должны быть равны 1.

Вывод:

— если x₆ = 0, то нам подходят все 7 наборов y

— если x₆ = 1, то нам подходят только 6 наборов y (выбираем те строки в таблице истинности, где y₆=1)

— если x₅ = 1, то нам подходят только 5 наборов y (выбираем те строки в таблице истинности, где y₅=1)

— если x₄ = 1, то нам подходят только 4 набора y (выбираем те строки в таблице истинности, где y₄=1)

— если x₃ = 1, то нам подходят только 3 набора y (выбираем те строки в таблице истинности, где y₃=1)

— если x₂ = 1, то нам подходят только 2 набора y (выбираем те строки в таблице истинности, где y₂=1)

— если x₁ = 1, то нам подходят только 1 набор y (выбираем те строки в таблице истинности, где y₁=1)

Итого: 7+6+5+4+3+2+1=28

Ответ: 28