Разбор 18 задания ЕГЭ 2018 по информатике и ИКТ из демоверсии. Это задание повышенного уровня сложности. Примерное время выполнения задания 3 минуты.
Проверяемые элементы содержания:
— Знание основных понятий и законов математической логики.
Элементы содержания, проверяемые на ЕГЭ:
— высказывания,
— логические операции,
— кванторы,
— истинность высказывания.
Задание 18
Для какого наибольшего целого числа А формула
((x ≤ 9) → (x⋅x ≤ A)) ⋀ ((y⋅y ≤ A) → (y ≤ 9))
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Ответ: ________
Разбор 18 задания ЕГЭ 2018 по информатике
Разделим наше выражение на 2 части:
((x ≤ 9) → (x⋅x ≤ A)) = B
((y⋅y ≤ A) → (y ≤ 9)) = C
получаем
B ⋀ C
Главное действие в исходном выражении — это коньюнкция. Конъюнкция истинна, когда все операнды истинны. Т.е. в задаче обе части B и C должны быть истинными.
Рассмотрим часть B:
если в выражении (x ≤ 9), х > 9, то часть В будет истинна независимо от А. Значит значение числа А влияет на решение только при выполнении условия:
x ≤ 9
теперь для того чтобы в части В, выражение было истинным, надо чтобы (x⋅x ≤ A) было истинным:
x⋅x ≤ A
(импликация 1 → 1 = 1)
таким образом получаем:
x ≤ 9
x2 ≤ A
при любых x
Но нам нам необходимо найти наибольшее возможное А, поэтому надо ограничить его значения сверху, а данная часть выражения ограничивает только снизу:
возьмем наименьшее натуральное: x = 1, тогда A ≥ 1
Рассмотрим часть С:
если выражение (y ≤ 9) действительно истинно (т.е. y ≤ 9), то часть С будет истинна независимо от А. Значит значение числа А влияет на решение только при выполнении условия:
y > 9
теперь для того чтобы в части C, выражение было истинным, надо чтобы (y⋅y ≤ A) было ложным:
y⋅y > A
(импликация 0 → 0 = 1)
таким образом получаем:
y > 9
y2 > A
при любых y
данная часть выражения ограничивает значения А сверху:
возьмем наименьшее возможное по условию натуральное: y = 10, тогда A < 100 Получаем, что наибольшее А меньшее 100 — это А = 99
Ответ: 99